7.1.2. A Fourier sor exponenciális alakja
Ha felhasználjuk, hogy a trigonometrikus függvények a komplex exponenciális függvénnyel kifejezhetők, a következőkhöz jutunk:
Sin(x)=(1/2j)(ejx-e-jx)
(7.5)
Cos(x)=(1/2)(ejx+e-jx)
(7.6)
Ezek után az (7.1) egyenlet a következő alakban is felírható:
(7.7)
Ha átcsoportosítjuk a szumma alatti tagokat, akkor pedig így:
(7.8)
Ha bevezetjük a harmonikus összetevőkre a
Cn=(an-jbn)/2
(7.9)
komplex amplitúdót, a szumma alatti rész egyszerűbb alakját kapjuk:
(7.10)
ahol a
C-n=Cn* és C0=c0
(7.11)
jelöléseket is használtuk. (* a komplex konjugáltképzés jele).
Ha (7.9)-be behelyettesítjük a (7.3)-(7.4) integrálokat, közvetlenül kiszámolhatjuk a bevezetett komplex amplitúdót:
(7.12)
A fenti egyenlet valós f(t) függvény esetében eleget tesz a Cn=C-n* feltételnek, sőt az n=0 esetben (7.2)-t is kiadja.
Az L hosszúságú periodikus, valós f(x) függvényre a Fourier sor együtthatói:
(7.13)
Az együtthatókból a függvényt így állítjuk vissza:
(7.14)
Hozzászóláshoz be kell jelentkezni!