Hangkártyák programozása retro 16.

7.1.2. A Fourier sor exponenciális alakja

Ha felhasználjuk, hogy a trigonometrikus függvények a komplex exponenciális függvénnyel kifejezhetők, a következőkhöz jutunk:

Sin(x)=(1/2j)(e^jx-e^-jx)

(7.5)

Cos(x)=(1/2)(e^jx+e^-jx)

(7.6)

Ezek után az (7.1) egyenlet a következő alakban is felírható:

(7.7)

Ha átcsoportosítjuk a szumma alatti tagokat, akkor pedig így:

(7.8)

Ha bevezetjük a harmonikus összetevőkre a

C_n=(a_n-jb_n)/2

(7.9)

komplex amplitúdót, a szumma alatti rész egyszerűbb alakját kapjuk:

(7.10)

ahol a

C_-n=C_n^* és C₀=c₀

(7.11)

jelöléseket is használtuk. (* a komplex konjugáltképzés jele).

Ha (7.9)-be behelyettesítjük a (7.3)-(7.4) integrálokat, közvetlenül kiszámolhatjuk a bevezetett komplex amplitúdót:

(7.12)

A fenti egyenlet valós f(t) függvény esetében eleget tesz a C_n=C_-n^* feltételnek, sőt az n=0 esetben (7.2)-t is kiadja.

Az L hosszúságú periodikus, valós f(x) függvényre a Fourier sor együtthatói:

(7.13)

Az együtthatókból a függvényt így állítjuk vissza:

(7.14)

Advertisements