Hangkártyák programozása retro 17.

7.1.3. Komplex értékű függvény Fourier sora

Az említett összefüggések f(x) komplex függvényre is alkalmazhatók, mivel mind az f(x)->Cn, mind a Cn->f(x) visszaállítás lineáris művelet, abban az értelemben, hogy az összeadással és konstans szorzással felcserélhető.

Legyen a szóban forgó komplex függvényünk k(x), ami felbontható valós és képzetes részre:

K(x)=kr(x)+jki(x) (7.15)
A két összetevő külön-külön előállítható a Fourier sor segítségével:

(7.16)


ahol

(7.17)


és


tehát

(7.18)


7.1.4. A diszkrét Fourier transzformáció (DFT)

Digitális jelfeldolgozás esetében a jel, vagyis a függvényünk nem folytonos formában, hanem diszkrét mintánként áll rendelkezésünkre. (Lásd F.18.)

F.18

A vizsgált függvény továbbra is L szerint periodikus, de értékét csak véges számú x helyen ismerjük. Jelöljük ezeket fi-vel. Az L hosszúságú periódusra essen N darab minta. Ekkor a minták távolsága:

Dx=L/N (7.19)

Nyilvánvaló, hogy a mintákat elég sűrűn kell venni a függvényből, s itt ismét hivatkoznunk kell a mintavételi törvényre.

A Fourier sor elemei megközelítőleg:

(7.20)

(7.19) behelyettesítésével:

(7.21)

amely nem más, mint az fi diszkrét érték-sorozat Dk diszkrét Fourier transzformáltja:

(7.22)

megállapítható, hogy ennek a transzformáltnak csak N darab egymástól különböző értéke lehet, mert:

(7.23)

Próbáljuk meg a függvényt úgy visszaállítani, hogy csak ezt az N darab (0<=n<N) transzformált értéket használjuk fel:

(7.24)

Ellenőrzésképpen helyettesítsük be (3.24)-be (3.22)-ből Dn-t:

(7.25)

A két szumma felcserélésével, rendezések után:

(7.26)

Most nem vezetjük le, de fogadjuk el, hogy

(7.27)

Ahol dki az úgynevezett Kronecker-delta, melynek értéke 1 ha k=i, egyébként 0.

Ezzel a (7.26) egyenlet azonossággá vált, tehát (7.24) valóban a visszatranszformálás összefüggése.

Összefoglalva elmondhatjuk, hogy az N elemből álló fi értéksorozat diszkrét Fourier transzformáltja:

(7.28)

A visszatranszformálást pedig az alábbi szummával végezzük:

(7.29)

Mind a transzformált, mind a visszatranszformált N-nel periodikus:

Dn+N=Dn, fk+N=fk (7.30)

Ha az fi értéksorozat valós bemenő értékekből áll, a Dn transzformált egyes elemei között bizonyos szimmetria összefüggések állnak fenn:

  • D0 valós,
  • D-n=Dn*, ami így is írható: DN-n=Dn*, (7.31)
  • DN/2 valós.

Az első és második állítás (7.28)-ból következik, míg a harmadik állítás a másodikból következik, vagyis DN/2 önmaga konjugáltja kell, hogy legyen, tehát valós. Az N valós számból álló értéksorozat diszkrét Fourier transzformáltját tehát egyértelműen megadhatjuk a Dn transzformált értéksor felével, pontosabban a következőkkel:

D0, D1, D2, …, D(N/2)-1, DN/2 (7.32)

Mivel az első és az utolsó adat valós, a közbülsők komplexek, ez éppen N darab számértéket jelent.

7.1.5. A DFT kapcsolata a vizsgált függvény harmonikus összetevőivel

  • Vizsgáljuk az f(x) valós értékű függvényt,
  • Kikötjük, hogy a függvény előzetes aluláteresztő szűrésen esett át, melynek eredményeként 2Dx-nél rövidebb periódushosszú összetevő biztosan nem fordul benne elő,
  • A függvény L hosszúságú szakaszán Dx lépésközzel N=L/Dx darab fi mintát veszünk,
  • A mintákból előállítjuk a D0 – DN/2 DFT elemeket,
  • Ez esetben állítható, hogy az f(x) függvény vizsgált szakaszát egyértelműen visszaadja az alábbi kifejezés:

(7.33)



Vélemény, hozzászólás?

Adatok megadása vagy bejelentkezés valamelyik ikonnal:

WordPress.com Logo

Hozzászólhat a WordPress.com felhasználói fiók használatával. Kilépés / Módosítás )

Twitter kép

Hozzászólhat a Twitter felhasználói fiók használatával. Kilépés / Módosítás )

Facebook kép

Hozzászólhat a Facebook felhasználói fiók használatával. Kilépés / Módosítás )

Google+ kép

Hozzászólhat a Google+ felhasználói fiók használatával. Kilépés / Módosítás )

Kapcsolódás: %s