Hangkártyák programozása retro 21.

8.2. Diszkrét értékes konvolúció

Érdemes megvizsgálni, hogy mi a helyzet olyan függvények esetében, amelyek diszkrét értékekből állnak, hiszen az általunk mintavételezés során létrehozott függvények is ilyenek.

A két függvényünk legyen ekvidisztáns értéksorozatával adott az x>0 tartományban:

8.7                       (8.7)

A konvolúciós integrál helyébe most summázás lép:

8.8(8.8)

A fenti summa a két függvény diszkrét értékes konvolúciója, amelyet megkülönböztetésül nevezzünk lineáris konvolúciónak.

A diszkrét értékes konvolúció a Fourier térben is elvégezhető. Nézzük meg, hogy miként történik két periodikusnak tekintett függvény ciklikus konvolúciója során a Fourier térben.

A két értéksorozat:

8.9               (8.9)

Mindkét függvény N pontjával adott és 0..N-1 tartományon kívül periodikusan ismétlődik.

A két függvény DFT-je:

8.10(8.10)

Szorozzuk össze a két függvényt a Fourier térben, vagyis pontonként, A és B azonos indexű elemeit, majd az eredményt szorozzuk N-nel:

Cn=NAnBn                             (8.11)

Ha Cn függvényen inverz DFT-t hajtunk végre, az eredmény a következő lesz:

8.12(8.12)

Behelyesítve An és Bn (8.10) szerinti összefüggését:

8.13(8.13)

Másképp írva:

8.14(8.14)

E kifejezés utolsó szummájára igaz, hogy

8.15(8.15)

Amit most nem bizonyítunk be.

Ezt felhasználva (8.14) felírható

8.16(8.16)

alakban, amely egyszerűbb alakra hozva:

8.17(8.17)

Azt a következtetést vonhatjuk le tehát, hogy a diszkrét értékekkel adott függvények ciklikus konvolúciója a két függvény diszkrét Fourier transzformáltjának szorzásával, és az eredmény visszatranszformálásával is elvégezhető. Megjegyezendő, hogy e módszer sokkal hatékonyabb és kódolása is könnyebb.

Azonban jelen esetben javarészt nem periodikus függvényekkel dolgozunk és a konvolúció lineáris változatára van szükségünk. Véges hosszúságú operandus függvények esetében, bizonyos megszorítások betartása mellett a Fourier térben a lineáris konvolúció is elvégezhető.

Legyen ai ekvidisztáns mintasorozatunk elemszáma Na, az előforduló indexekre tehát 0  <= i <= Na, illetve legyen bi ekvidisztáns mintasorozatunk elemszáma Nb, az előforduló indexekre tehát 0  <= i <= Nb-1. Egészítsük ki mindkét függvényt N hosszúságú függvényekké úgy, hogy az Na…N-1, illetőleg az Nb…N-1 elemeket azonosan zérusnak tekintjük. Az ilyen módon kiegészített függvényekre alkalmazzuk a ciklikus konvolúciót:

8.18(8.18)

A summa szétválasztása és a modulo függvény semlegesítése után:

8.19.1

8.19.2

(8.19)

Az első summa azonos (8.8) szerinti diszkrét értékes konvolúcióval. Ha a második summa nulla, akkor diszkrét értékes konvolúció azonos eredményt ad a lineáris konvolúcióval.

A második summa a következő feltételek mellett tehető nullává:

Első eset: m+1 > Na-1. Ekkor a summa zérus, mert minden ai érték zérus.

Második eset: m+1<= Na-1. Ekkor (8.19) második summája az N-1 helyett az Na-1 felső határral írható, hiszen az efölötti ai-k zérus értékűek:

8.20

(8.20)

Az ezen summában szereplő b értékek

bm-Na+1+N     és   bN-1                      (8.21)

közöttiek. Ez a tartomány akkor a legnagyobb, ha m értéke a legkisebb: m=0. Ez esetben a

bN-Na+1    és   bN-1                        (8.22)

közötti b értékeket használjuk. Ha N-Na+1 >= Nb, biztos, hogy a használt összes b érték zérus, tehát a summa zérus.

Következésképpen a Fourier térben végzett ciklikus konvolúció azonos eredményt ad a lineáris konvolúcióval, ha

N>Na+Nb-1                            (8.23)

Vélemény, hozzászólás?

Adatok megadása vagy bejelentkezés valamelyik ikonnal:

WordPress.com Logo

Hozzászólhat a WordPress.com felhasználói fiók használatával. Kilépés / Módosítás )

Twitter kép

Hozzászólhat a Twitter felhasználói fiók használatával. Kilépés / Módosítás )

Facebook kép

Hozzászólhat a Facebook felhasználói fiók használatával. Kilépés / Módosítás )

Google+ kép

Hozzászólhat a Google+ felhasználói fiók használatával. Kilépés / Módosítás )

Kapcsolódás: %s