8.2. Diszkrét értékes konvolúció
Érdemes megvizsgálni, hogy mi a helyzet olyan függvények esetében, amelyek diszkrét értékekből állnak, hiszen az általunk mintavételezés során létrehozott függvények is ilyenek.
A két függvényünk legyen ekvidisztáns értéksorozatával adott az x>0 tartományban:
A konvolúciós integrál helyébe most summázás lép:
A fenti summa a két függvény diszkrét értékes konvolúciója, amelyet megkülönböztetésül nevezzünk lineáris konvolúciónak.
A diszkrét értékes konvolúció a Fourier térben is elvégezhető. Nézzük meg, hogy miként történik két periodikusnak tekintett függvény ciklikus konvolúciója során a Fourier térben.
A két értéksorozat:
Mindkét függvény N pontjával adott és 0..N-1 tartományon kívül periodikusan ismétlődik.
A két függvény DFT-je:
Szorozzuk össze a két függvényt a Fourier térben, vagyis pontonként, A és B azonos indexű elemeit, majd az eredményt szorozzuk N-nel:
Cn=NAnBn (8.11)
Ha Cn függvényen inverz DFT-t hajtunk végre, az eredmény a következő lesz:
Behelyesítve An és Bn (8.10) szerinti összefüggését:
Másképp írva:
E kifejezés utolsó szummájára igaz, hogy
Amit most nem bizonyítunk be.
Ezt felhasználva (8.14) felírható
alakban, amely egyszerűbb alakra hozva:
Azt a következtetést vonhatjuk le tehát, hogy a diszkrét értékekkel adott függvények ciklikus konvolúciója a két függvény diszkrét Fourier transzformáltjának szorzásával, és az eredmény visszatranszformálásával is elvégezhető. Megjegyezendő, hogy e módszer sokkal hatékonyabb és kódolása is könnyebb.
Azonban jelen esetben javarészt nem periodikus függvényekkel dolgozunk és a konvolúció lineáris változatára van szükségünk. Véges hosszúságú operandus függvények esetében, bizonyos megszorítások betartása mellett a Fourier térben a lineáris konvolúció is elvégezhető.
Legyen ai ekvidisztáns mintasorozatunk elemszáma Na, az előforduló indexekre tehát 0 <= i <= Na, illetve legyen bi ekvidisztáns mintasorozatunk elemszáma Nb, az előforduló indexekre tehát 0 <= i <= Nb-1. Egészítsük ki mindkét függvényt N hosszúságú függvényekké úgy, hogy az Na…N-1, illetőleg az Nb…N-1 elemeket azonosan zérusnak tekintjük. Az ilyen módon kiegészített függvényekre alkalmazzuk a ciklikus konvolúciót:
A summa szétválasztása és a modulo függvény semlegesítése után:
(8.19)
Az első summa azonos (8.8) szerinti diszkrét értékes konvolúcióval. Ha a második summa nulla, akkor diszkrét értékes konvolúció azonos eredményt ad a lineáris konvolúcióval.
A második summa a következő feltételek mellett tehető nullává:
Első eset: m+1 > Na-1. Ekkor a summa zérus, mert minden ai érték zérus.
Második eset: m+1<= Na-1. Ekkor (8.19) második summája az N-1 helyett az Na-1 felső határral írható, hiszen az efölötti ai-k zérus értékűek:
(8.20)
Az ezen summában szereplő b értékek
bm-Na+1+N és bN-1 (8.21)
közöttiek. Ez a tartomány akkor a legnagyobb, ha m értéke a legkisebb: m=0. Ez esetben a
bN-Na+1 és bN-1 (8.22)
közötti b értékeket használjuk. Ha N-Na+1 >= Nb, biztos, hogy a használt összes b érték zérus, tehát a summa zérus.
Következésképpen a Fourier térben végzett ciklikus konvolúció azonos eredményt ad a lineáris konvolúcióval, ha
N>Na+Nb-1 (8.23)