Hangkártyák programozása retro 21.

8.2. Diszkrét értékes konvolúció

Érdemes megvizsgálni, hogy mi a helyzet olyan függvények esetében, amelyek diszkrét értékekből állnak, hiszen az általunk mintavételezés során létrehozott függvények is ilyenek.

A két függvényünk legyen ekvidisztáns értéksorozatával adott az x>0 tartományban:

                       (8.7)

A konvolúciós integrál helyébe most summázás lép:

(8.8)

A fenti summa a két függvény diszkrét értékes konvolúciója, amelyet megkülönböztetésül nevezzünk lineáris konvolúciónak.

A diszkrét értékes konvolúció a Fourier térben is elvégezhető. Nézzük meg, hogy miként történik két periodikusnak tekintett függvény ciklikus konvolúciója során a Fourier térben.

A két értéksorozat:

               (8.9)

Mindkét függvény N pontjával adott és 0..N-1 tartományon kívül periodikusan ismétlődik.

A két függvény DFT-je:

(8.10)

Szorozzuk össze a két függvényt a Fourier térben, vagyis pontonként, A és B azonos indexű elemeit, majd az eredményt szorozzuk N-nel:

C_n=NA_nB_n                             (8.11)

Ha C_n függvényen inverz DFT-t hajtunk végre, az eredmény a következő lesz:

(8.12)

Behelyesítve A_n és B_n (8.10) szerinti összefüggését:

(8.13)

Másképp írva:

(8.14)

E kifejezés utolsó szummájára igaz, hogy

(8.15)

Amit most nem bizonyítunk be.

Ezt felhasználva (8.14) felírható

(8.16)

alakban, amely egyszerűbb alakra hozva:

(8.17)

Azt a következtetést vonhatjuk le tehát, hogy a diszkrét értékekkel adott függvények ciklikus konvolúciója a két függvény diszkrét Fourier transzformáltjának szorzásával, és az eredmény visszatranszformálásával is elvégezhető. Megjegyezendő, hogy e módszer sokkal hatékonyabb és kódolása is könnyebb.

Azonban jelen esetben javarészt nem periodikus függvényekkel dolgozunk és a konvolúció lineáris változatára van szükségünk. Véges hosszúságú operandus függvények esetében, bizonyos megszorítások betartása mellett a Fourier térben a lineáris konvolúció is elvégezhető.

Legyen a_i ekvidisztáns mintasorozatunk elemszáma N_a, az előforduló indexekre tehát 0  <= i <= N_a, illetve legyen b_i ekvidisztáns mintasorozatunk elemszáma N_b, az előforduló indexekre tehát 0  <= i <= N_b-1. Egészítsük ki mindkét függvényt N hosszúságú függvényekké úgy, hogy az N_a…N-1, illetőleg az N_b…N-1 elemeket azonosan zérusnak tekintjük. Az ilyen módon kiegészített függvényekre alkalmazzuk a ciklikus konvolúciót:

(8.18)

A summa szétválasztása és a modulo függvény semlegesítése után:

(8.19)

Az első summa azonos (8.8) szerinti diszkrét értékes konvolúcióval. Ha a második summa nulla, akkor diszkrét értékes konvolúció azonos eredményt ad a lineáris konvolúcióval.

A második summa a következő feltételek mellett tehető nullává:

Első eset: m+1 > N_a-1. Ekkor a summa zérus, mert minden a_i érték zérus.

Második eset: m+1<= N_a-1. Ekkor (8.19) második summája az N-1 helyett az N_a-1 felső határral írható, hiszen az efölötti a_i-k zérus értékűek:

(8.20)

Az ezen summában szereplő b értékek

b_m-Na+1+N     és   b_N-1                      (8.21)

közöttiek. Ez a tartomány akkor a legnagyobb, ha m értéke a legkisebb: m=0. Ez esetben a

b_N-Na+1    és   b_N-1                        (8.22)

közötti b értékeket használjuk. Ha N-N_a+1 >= N_b, biztos, hogy a használt összes b érték zérus, tehát a summa zérus.

Következésképpen a Fourier térben végzett ciklikus konvolúció azonos eredményt ad a lineáris konvolúcióval, ha

N>N_a+N_b-1                            (8.23)